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福建教师招考数学知识:二项式定理

作者: 骆驼     发布时间: 2019-07-10 12:02:42    浏览: 398

二项式定理是学生们容易混淆的部分,本文根据福建教师招考中数学考试大纲的要求,梳理了二项式定理的常考知识点,快来看一看吧!

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一、二项式定理

1.公式

(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,k)a^(n-k)b^k+...+C(n,n)b^n

2.理解

(1)二项展开式有n+1项

(2)字母a按照降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1到0;字母b按升幂排列,从第一项开始,次数由0逐项加1到n

(3)二项式定理表示一个恒等式,对于任意的实数a,b,等式都成立,通过对a,b取不同的特殊值,可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设a=1,b=x,则(1+x)^n=C(n,0)x^n+C(n,1)x^(n-1)b+...+C(n,k)x^(n-k)b^k+...+C(n,n)b^n

(4)要注意二项式定理的双向功能:一方面可将二项式(a+b)^n展开,得到一个多项式;另一方面,也可将展开式合并成二项式(a+b)^n

二、通项系数

二项展开式中的第k+1项为C(n,k)a^(n-r)b^k,叫做二项展开式的通项。TK+1=C(n,k)a^(n-r)b^k

三、通项系数理解

1.性质

(1)对称性

在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即C(n,0)=C(n,n),C(n,1)=C(n,n-1),C(n,2)=C(n,n-2),…C(n,k)=C(n,n-k),…

(2)增减性与最大值:在二项展开式中,二项式系数先增后减,且在中间取得最大值。

如果二项式的幂数是偶数,中间一项的二项式系数最大,即n偶数,C(n,k)max=C(n,n/2);如果二项式的幂数是奇数,中间一项的二项式系数相等并最大,即C(n,k)max=C(n,n-1/2)=C(n,n+1/2)

(3)二项展开式的各系数的和位2^n,令a=1,b=1,即C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n

(4)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等。

2.注意点

利用二项式定理和展开式的通项公式可以求某些特殊项,如含某个幂的项、常数项、有理项、最大项等问题。在这里要分清:

(1)二项展开式中的各项的“二项式系数”与“系数”的区别,这是两个不同的概念,“二项式系数”仅仅指C(n,0),C(n,1)…,不包括字母a,b表示式子的系数。

(2)通项C(n,k)a^(n-r)b^k是展开式中的第k+1项,不是第k项。

四、二项式定理的应用

解决有关近似计算、整除问题,运用二项展开式并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。

福建教师招考为您整理了二项式定理的初步知识,希望可以对考生有所帮助。


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